Successioni

Una successione è una funzione $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, cioè una lista ordinata di numeri reali $a_1, a_2, a_3, ...$

Limite di una successione

Si dice che $a_n$ tende al limite $L$ se, per ogni $\varepsilon > 0$, esiste $N$ tale che $|a_n - L| < \varepsilon$ per ogni $n > N$.

Esempio

$a_n = \frac{1}{n}$ ha limite $0$.

Teorema: Unicità del limite

Se una successione converge, il limite è unico.

Dimostrazione: Supponiamo che $a_n \to L$ e $a_n \to M$ con $L \neq M$. Allora esiste $\varepsilon = \frac{|L-M|}{2} > 0$ tale che, per $n$ sufficientemente grande, $|a_n - L| < \varepsilon$ e $|a_n - M| < \varepsilon$. Ma allora $|L-M| < 2\varepsilon = |L-M|$, assurdo. Quindi $L = M$.