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Derivate

La derivata di ff in x0x_0 è f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.

Regole di derivazione​

  • (f+g)′=f′+g′(f+g)' = f' + g'
  • (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'
  • (f/g)′=f′g−fg′g2(f/g)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Interpretazione geometrica​

La derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di ff in x0x_0.

Teorema di Rolle​

Se ff è continua in [a,b][a, b], derivabile in (a,b)(a, b) e f(a)=f(b)f(a) = f(b), allora esiste c∈(a,b)c \in (a, b) tale che f′(c)=0f'(c) = 0.

Dimostrazione: Per Weierstrass, ff ammette massimo e minimo in [a,b][a, b]. Se sono interni, in tali punti la derivata si annulla. Se sono agli estremi, ff è costante e la derivata è zero ovunque.