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Continuità

Una funzione ff è continua in x0x_0 se lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).

Tipi di discontinuità​

  • Eliminabile: il limite esiste ma è diverso dal valore della funzione
  • Di salto: i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi
  • Essenziale: almeno uno dei limiti non esiste o è infinito

Teorema di Weierstrass​

Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a,b][a, b] è limitata e ammette massimo e minimo assoluti.

Dimostrazione (idea): Poiché [a,b][a, b] è compatto, l’immagine f([a,b])f([a, b]) è anch’essa compatta, quindi chiusa e limitata. Quindi ff assume massimo e minimo.