Numeri Reali

Gli insiemi numerici principali sono:

• Naturali ($\mathbb{N}$): $0, 1, 2, ...$
• Interi ($\mathbb{Z}$): $..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$
• Razionali ($\mathbb{Q}$): numeri esprimibili come frazione $\frac{p}{q}$ con $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$
• Reali ($\mathbb{R}$): tutti i numeri rappresentabili su una retta continua, includono razionali e irrazionali (come $\sqrt{2}$, $\pi$)

Proprietà dei numeri reali

• Ordinati: per ogni $a, b \in \mathbb{R}$, vale una e una sola tra $a < b$, $a = b$, $a > b$
• Densi: tra due reali distinti esiste sempre un altro reale
• Completi: ogni successione crescente e limitata superiormente ammette un estremo superiore (assioma di completezza)

Intervalli

• Aperto: $(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$
• Chiuso: $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$
• Semichiuso: $[a, b)$ o $(a, b]$

Assioma di completezza

Ogni insieme non vuoto di numeri reali, limitato superiormente, ammette un estremo superiore (supremo).

Esempio e dimostrazione

Sia $A = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$. $A$ è limitato superiormente (ad esempio da $2$), ma il suo supremo in $\mathbb{R}$ è $\sqrt{2}$, che non è razionale. Questo mostra che $\mathbb{Q}$ non è completo, mentre $\mathbb{R}$ sì.